Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC的中點，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉一個角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，連接BD′、CE′，如圖1．

（1）求證：BD′=CE'；

（2）如圖2，當α=60°時，設AB與D′E′交于點F，求的值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

（1）首先依據旋轉的性質和中點的定義證明AD′=AE′，然后再利用SAS證明△BD′A≌△CE′A，最后，依據全等三角形的性質進行證明即可；

（2）連接DD′，先證明△ADD′為等邊三角形，然后再證明△△ABD′為直角三角形，接下來，再證明△BFD′∽△AFE′，最后，依據相似三角形的性質求解即可．

（1）證明：∵AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，

∴AD=BD=AE=EC．

由旋轉的性質可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．

∴AD′=AE′，

∴△BD′A≌△CE′A，

∴BD′=CE′．

（2）連接DD′．

∵∠DAD′=60°，AD=AD′，

∴△ADD′是等邊三角形．

∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．

∴∠DBD′=∠DD′B=30°，

∴∠BD′A=90°．

∵∠D′AE′=90°，

∴∠BAE′=30°，

∴∠BAE′=∠ABD′，

又∵∠BFD′=∠AFE′，

∴△BFD′∽△AFE′，

∴．

∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′=，

∴．