Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A(0，－ )，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線l∥AB且過(guò)點(diǎn)D.

（1）求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）請(qǐng)你判斷△ABD的形狀并證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)且與點(diǎn)A、D不重合，點(diǎn)F在直線l上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF=60°，連接BF，求出△BEF面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）△ABD是等邊三角形，（3）

【解析】試題分析：（1）先求得拋物線的解析式，再求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；（2）△ABD是等邊三角形，根據(jù)已知條件易證△BOA≌△DOA，可得BA=DA，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求得∠ABO=60°，即可判定△ABD是等邊三角形；（3）過(guò)點(diǎn)E作EG∥x軸，交AB于點(diǎn)G， 易證△AEG是等邊三角形，可得AE=AG，再證△BEG≌△EFD，可得BE=EF，易得△BEF是等邊三角形 ，當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE的長(zhǎng)度最小，則△BEF的面積取最小值，求得△BEF面積的最小值即可.

試題解析：

（1）將點(diǎn)A（0，－ ）代入拋物線解析式中，得c=－，

當(dāng)y=0時(shí)，

化簡(jiǎn)得x2－2x－3=0

（x+1）(x－3)=0

x 1=－1, x 2=3

點(diǎn)B （－1，0），點(diǎn)C（3，0）

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，

圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，－ ），點(diǎn)B （－1，0），

代入得 ，解得

直線AB的表達(dá)式為

（2）△ABD是等邊三角形，

點(diǎn)B(－1，0), 點(diǎn)D（1，0）

OB=OD=1，

∵OA是公共邊，∠BOA=∠DOA=90°，

∴△BOA≌△DOA，

∴BA=DA，

tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

△ABD是等邊三角形

（3）過(guò)點(diǎn)E作EG∥x軸，交AB于點(diǎn)G，

∵△ABD是等邊三角形

∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°

∴∠AEG=∠AGE=60°

∴△AEG是等邊三角形，

∴AE=AG

∴DE=BG

∵AB∥l

∴∠EDF=∠BGE=120°

∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，

∴∠GBE=∠DEF

∴△BEG≌△EFD

∴BE=EF

又∵∠BEF=60°

∴△BEF是等邊三角形

∴S△BEF=

當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE的長(zhǎng)度最小，則△BEF的面積取最小值，

此時(shí)，BE=ABsin60°=，

△BEF面積的最小值==