Question

【題目】如圖①，長方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD的中點．點P從A點出發，沿A﹣B﹣C的方向在長方形邊上勻速運動，速度為1cm/s，運動到C點停止．設點P運動的時間為ts．（圖②為備用圖）

(1)當P在AB上，t=　 　s時，△APE的面積為長方形面積的；

(2)整個運動過程中，t為何值時，△APE為直角三角形？

Answer 1

【答案】(1)4；(2)當t=3s或t=s時，△APE為直角三角形．

【解析】

（1）設t秒后，△APE的面積為長方形面積的，根據題意得：△APE的面積=APAD=t×4=，從而求得t值；

（2）①當P運動到AB中點時△AEP為直角三角形，此時∠APE為直角，t=3；②當P運動到BC上時，∠AEP為直角時利用相似三角形求得PB的長即可求得t值．

（1）設t秒后，△APE的面積為長方形面積的，根據題意得：AP=t，∴△APE的面積=APAD=t×4=，解得：t=4，∴4秒后，△APE的面積為長方形面積的；

（2）①當t=3時，AP=3，如圖1所示：

∵E為CD的中點，∴CE=DE=3．

∵四邊形ABCD是矩形，BC=AD=4，∴四邊形APED是矩形，∴PE⊥AB，∴△APE是直角三角形；

②當P在BC上時，若△APE是直角三角形，∠AED+∠PEC=90°，如圖2所示：

∵∠ADE=∠ECP=90°，∴∠AED=∠EPC，∴△ADE∽△ECP，∴=，解得：CP===，∴PB=BC﹣PC=4﹣=，∴t=6+=．

綜上所述：當t=3s或t=s時，△APE為直角三角形．