Question

如圖，已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A、B，點M是線段AB(中點除外)上的動點，以點M為圓心，OM的長為半徑作圓，與x軸、y軸分別相交于點C、D．
（1）設點M的橫坐標為a，則點C的坐標為         ，點D的坐標為          （用含有a的代數式表示）；
（2）求證：AC=BD；
（3）若過點D作直線AB的垂線，垂足為E．
①求證： AB=2ME；
②是否存在點M，使得AM=BE？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

⑴C（2a，0），D（0，2a+8）
⑵方法一：由題意得：A（－4，0），B（0，4）
－4＜a＜0，且a≠2，
① 當2a+8＜4，即－4＜a＜－2時
AC=－4－2a，BD=4－（2a+8）=－4－2a
∴AC=BD
② 當2a+8＞4，即－2＜a＜0時
同理可證：AC=BD
綜上：AC=BD
方法二：①當點D在B、O之間時，
連CD，∵∠COD＝90°
∴圓心M在CD上，
過點D作DF∥AB，
∵點M為CD中點，
∴MA為△CDF中位線，
∴AC＝AF，
又DF∥AB，
∴，
而BO＝AO   
∴AF=BD
∴AC＝BD
②點D在點B上方時，同理可證：AC=BD
綜上：AC=BD
⑶方法一
①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均為等腰直角三角形，
E的縱坐標為a+6，∴ME=(y_E－y_M)==2
AB=4
∴AB=2ME
②AM=( y_M－y_A)＝(a+4)，BE=|y_E－y_B|=|a+2|，
∵AM=BE
又－4＜a＜0，且a≠2，
1⁰ 當－4＜a＜－2時
(a+4)= －(a+2)
∴a=－3
M（－3，1）
2⁰ 當－2＜a＜0時
(a+4)= (a+2)
∴a不存在
方法二：
①當點D在B、O之間時，作MP⊥x軸于點P、MQ⊥y軸于點Q，取AB中點N，
在Rt△MNO與Rt△DEM中，MO＝MD
∠MON＝45⁰－∠MOP
∠EMD＝45⁰－∠DMQ＝45⁰－∠OMQ＝45⁰－∠MOP
∴∠MON＝∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM
∴MN＝ED＝EB
∴AB＝2NB＝2（NE＋EB）＝2（NE＋MN）＝2ME
當點D在點B上方時，同理可證
②當點D在B、O之間時，
由①得MN=EB，
∴AM=NE 
若AM=BE，則AM=MN=NE=EB=AB=
∴M（－3，1）
點D在點B上方時，不存在。

（1）直接利用垂徑定理可知C（2a，0），D（0，2a+8）；
（2）本題可用直角坐標系中兩點間的距離公式分別求算出AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，所以AC=BD；
（3）①根據A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），可知△BDE、△ABO均為等腰直角三角形，E的縱坐標為a+6，可求得，，所以AB=2ME；
②AM=( －)＝(a+4)，BE=||=|a+2|，AM=BE，結合條件-4＜a＜0，且a≠2，a=-3，可知M（-3，1）；當-2＜a＜0時，a不存在。