Question

在如圖的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長為一個(gè)單位的正方形．
（1）計(jì)算△ABC的面積．
（2）判斷△ABC的形狀？說明理由．
（3）畫出△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A₁B₁C₁，并求出△ABC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC所在的矩形的面積減去四周三個(gè)小直角三角形的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用相應(yīng)的直角三角形，分別求出AB²、BC²、AC²的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷是直角三角形；
（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)找出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)A₁、B₁、C₁的位置，然后順次連接即可得到△A₁B₁C₁，△ABC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積等于以AB為半徑的90°的扇形的面積與△ABC的面積的和，然后列式計(jì)算即可．

解答：解：（1）S_△ABC=4×4-

1

2

×4×2-

1

2

×2×1-

1

2

×3×4，
=16-4-1-6，
=5；

（2）AB²=4²+3²=25，BC²=2²+1²=5，AC²=4²+2²=20，
∵25=5+20，
即AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；

（3）圖形如圖，△ABC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為扇形OAA₁的面積與△ABC的面積的和，
S_扇=

90πAB2

360

=

25π

4

，
∴△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積是

25π

4

+5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是作圖的關(guān)鍵，還考查了勾股定理的運(yùn)用，勾股定理逆定理，以及求扇形的面積，需要注意，三角形旋轉(zhuǎn)掃過的面積是扇形的面積與三角形的面積的和，容易漏掉三角形的面積而導(dǎo)致出錯(cuò)．