Question

如圖，正△ABC內接于⊙O，D是⊙O上一點，∠DCA=15°，CD=10，則BC的長為（　　）

• A．5

  6

• B．10

  2

• C．5

  2

• D．

  5 6

  2

Answer 1

分析：作OE⊥CD于E，則E是CD的中點，連接OC，根據△ABC是正三角形可知OC平分∠ACB，即∠OCA=30°，故可得出△OCE是等腰直角三角形，根據勾股定理可求出OC的長，作OF⊥BC于F，則F是BC的中點，在Rt△OFC中，根據銳角三角函數的定義得出OF的長，再根據勾股定理求出CF的長，進而可得出結論．

解答：解：作OE⊥CD于E，則E是CD的中點，連接OC，
∵△ABC是正三角形，
∴OC平分∠ACB，即∠OCA=30°，
∵∠ACD=15°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OE=CE=

1

2

CD=5，
∴OC=

OE2+CE2

=

52+52

=5

2

，
作OF⊥BC于F，則F是BC的中點，
在Rt△OFC中，
∵∠OCF=30°，
∴OF=

1

2

OC=

5 2

2

，
∴CF=

OC2-OF2

=

(5 2 )2-( 5 2 2 )2

=

5 6

2

，
∴BC=2FC=5

6

．
故選A．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．