Question

如圖，正△ABC內(nèi)接于⊙O，P是劣弧BC上任意一點(diǎn)，PA與BC交于點(diǎn)E，有如下結(jié)論：①PA=PB+PC；②

1

PA

=

1

PB

+

1

PC

；③PA•PE=PB•PC．其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）

• A、3個
• B、2個
• C、1個
• D、0個

Answer 1

分析：根據(jù)題意：易得△APC≌△BDC．即AP=BD，有PA=DB=PB+PD=PB+PC正確．同時可得：②錯誤，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE=PB•PC；③正確．

解答：解：延長BP到D，使PD=PC，連接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
則△PCD為等邊三角形，
∵△ABC為正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正確；
由（1）知△PBE∽△PAC，則

PA

PC

=

PB

PE

，

PA

PB

=

PC

PE

，

PA

PB

+

PA

PC

=

PC

PE

+

PB

PE

≠1，
∴②錯誤；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴

PA

PB

=

PC

PE

∴PA•PE=PB•PC，故③正確；
故選B．

點(diǎn)評：本題考查等邊三角形的性質(zhì)與運(yùn)用，其三邊相等，三個內(nèi)角相等，均為60°．