Question

如圖，已知二次函數的圖象經過點A（3，3）、B（4，0）和原點O．P為二次函數圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C．

（1）求出二次函數的解析式；

（2）當點P在直線OA的上方時，用含m的代數式表示線段PC的長，并求線段PC的最大值；

（3）當m＞0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）設y=ax（x﹣4），把A點坐標（3，3）代入得：a=﹣1，

函數的解析式為y=﹣x²+4x， …………………………………………………4分

（2）0＜m＜3，PC=PD﹣CD=﹣m²+3m，=﹣+，……………… 6分

∵﹣1＜0，開口向下，∴有最大值，

當D（，0）時，PC_max=，…………………………………………………8分

（3）P的坐標是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．

………………………………………………………………………12分

（3）簡單解答過程如下：

當0＜m＜3時，僅有OC=PC，∴，解得，

∴；

當m≥3時，PC=CD﹣PD=m²﹣3m，OC=，

由勾股定理得：OP²=OD²+DP²=m²+m²（m﹣4）²，

①當OC=PC時，，

解得：，

∴；

②當OC=OP時，，

解得：m₁=5，m₂=3（舍去），

∴P（5，﹣5）；

③當PC=OP時，m²（m﹣3）²=m²+m²（m﹣4）²，

解得：m=4，

∴P（4，0），

存在P的坐標是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．

【解析】（1）設y=ax（x-4），把A點坐標代入即可求出答案；

（2）根據點的坐標求出PC=-m²+3m，化成頂點式即可求出線段PC的最大值；

（3）當0＜m＜3時，僅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；當m≥3時，PC=CD-PD=m²-3m，OC=m，分為三種情況：①當OC=PC時，m²-3m=m，求出方程的解即可得到P的坐標；同理可求：②當OC=OP時，③當PC=OP時，點P的坐標．綜合上述即可得到答案．