Question

正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P在DB所在的直線上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）如圖1，當點P與點O重合時，延長FP交AB于點M，求證：AP=EF；
（2）如圖2，當點P在線段DB上（不與點D、O、B重合）時，延長FP交AB于點M，求證：AP=EF；
（3）如圖3，當點P在DB的延長線上時，請你猜想AP與EF的數量關系及位置關系，直接寫出結論；若不成立，請寫出相應的結論．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AP=EF，且AP⊥EF．

試題分析：（1）連接AC，則AC必過O點，延長FO交AB于M，由于O是BD中點，易證得△AOM≌△FOE，則AO=EF．
（2）方法與①類似，延長FP交AB于M，延長AP交BC于N，易證得四邊形MBEP是正方形，可證得△APM≌△FEP，則AP=EF．
（3）解題思路和方法同（2）．
試題解析：（1）如圖1,

證明：連接AC，則AC必過點O，
∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線.
∵OF⊥CD，FOM共線，
∵OM⊥AB，OE⊥BC.
∴∠ABE=∠BEO=∠BMO=90°
∴四邊形OEBM是矩形.
∵AC平分∠BCD且OE⊥BC，OF⊥CD，
∴OF= OE
∴矩形OECF是正方形
∴∠MAO=∠OFE=∠AOM=∠OEF=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴OM=OE=OF=AM
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AP=EF．
（2）如圖2,

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四邊形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，
且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF.
（3）AP=EF，且AP⊥EF．