Question

●觀察計算
當a=5，b=3時，

a+b

2

與

ab

的大小關系是

 

．
當a=4，b=4時，

a+b

2

與

ab

的大小關系是

 

．
●探究證明
如圖所示，△ABC為圓O的內接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設AD=a，BD=b．
（1）分別用a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）．
●歸納結論
根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出

a+b

2

與

ab

的大小關系是：

 

．
●實踐應用
要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值．

Answer 1

分析：●觀察計算：分別代入計算即可得出

a+b

2

與

ab

的大小關系；
●探究證明：
（1）由于OC是直徑AB的一半，則OC易得．通過證明△ACD∽△CBD，可求CD；
（2）分a=b，a≠b討論可得出

a+b

2

與

ab

的大小關系；
●實踐應用：通過前面的結論長方形為正方形時，周長最小．

解答：解：●觀察計算：

a+b

2

＞

ab

，

a+b

2

=

ab

．
●探究證明：
（1）∵AB=AD+BD=2OC，
∴OC=

a+b

2

∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD．
∴△ACD∽△CBD．
∴

AD

CD

=

CD

BD

．
即CD²=AD•BD=ab，
∴CD=

ab

．

（2）當a=b時，OC=CD，

a+b

2

=

ab

；
a≠b時，OC＞CD，

a+b

2

＞

ab

．

●結論歸納：

a+b

2

≥

ab

．
●實踐應用
設長方形一邊長為x米，則另一邊長為

1

x

米，設鏡框周長為l米，則l=2(x+

1

x

)≥4

x• 1 x

=4．
當x=

1

x

，即x=1（米）時，鏡框周長最小．
此時四邊形為正方形時，周長最小為4米．

點評：本題綜合考查了幾何不等式，相似三角形的判定與性質，通過計算和證明得出結論：

a+b

2

≥

ab

是解題的關鍵．