Question

在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于點D
（1）如圖①，若∠A=80°，則∠D=

 

；若∠A=90°，則∠D=

 

（2）在題（1）的探索中，你發現∠D的大小與∠A有關嗎？如果有關，寫出你的發現過程；如果沒有，請說明理由（借助圖①）
（3）如圖②，若∠DBC、∠DCE的角平分線BD′、CD′交于點D′，當∠BD′C=30°時，∠A=

 

．

Answer 1

分析：（1）因為由角平分線定義和三角形的外角性質及三角形的內角和定理可求出相應的∠D；
（2）有關，角D等于角A的一半，原因是，如圖①，因為角ACE為三角形ABC的外角，根據三角形的外角性質可知角ACE等于角A加角ABC，又因為BD為角平分線，根據角平分線定義可知，角ACE等于角A加角DBC的2倍，同理可得角DCE等于角D加角DCE的2倍，CD為角ACE的角平分線，所以角ACE等于角DCE的2倍，綜合上面的式子可得出角D與角A的關系；
（3）根據（2）找出的結論可知角D′等于角D的一半，而角D等于角A的一半，所以角A等于角D′的四倍，根據角D′的值即可求出角A的值．

解答：解：（1）當∠A=80°時，因為∠ACE是△ABC的外角，所以∠ACE=80°+∠ABC，
又因為BD平分∠ABC，所以∠ACE=80°+2∠DBC，
同理∠DCE是△BCD的外角，所以∠DCE=∠D+∠DBC，且∠ACE=2∠DCE，
80°+2∠DBC=2∠DCE=2（∠D+∠DBC）=2∠D+2∠DBC，
所以2∠D=80°，解得∠D=40°，
當∠A=90°時，同理可得∠D=45°；

（2）∠D=

1

2

∠A．因為∠ACE是△ABC的外角，所以∠ACE=∠A+∠ABC，又因為BD平分∠ABC，所以∠ACE=∠A+2∠DBC①，
同理∠DCE是△BCD的外角，所以∠DCE=∠D+∠DBC②，且∠ACE=2∠DCE，綜合①②可得∠D=

1

2

∠A；

（3）由（2）得到的結論可知，∠BD′C=

1

2

∠D，∠D=

1

2

∠A，所以∠A=4∠BD′C=4×30°=120°．

故答案為：40°；45°；120°．

點評：此題考查學生靈活運用三角形的外角性質及角平分線的定義解決數學問題的能力，讓學生經歷特殊到一般的過程，是一道中檔題．