Question

在平面直角坐標系中，將一塊腰長為cm的等腰直角三角板ABC如圖放置，BC邊與x軸重合，∠ACB=90°，直角頂點C的坐標為（-3，0）．
（1）點A的坐標為________，點B的坐為________；
（2）求以原點O為頂點且過點A的拋物線的解析式；
（3）現三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移，則平移的時間為多少秒時，三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切？

Answer 1

解：（1）∵AC=BC=2，直角頂點C的坐標為（-3，0），
∴點A的坐標為（-3，），
點B的坐標為；
（2）∵拋物線的頂點為原點，
∴設拋物線y=ax²，
∵拋物線經過點A，
∴9a=2，
解得：a=
∴拋物線的解析式為：y=x²
（3）①當三角板向右平移1cm時，AC與⊙O第一次相切，t₁=1s
②當三角板向右平移3cm時，邊AB與⊙O第一次相切，
設切點為M，在Rt△OMB’中OM=2，∠OB′P=45°，
∴OB′=
∴BB′=OB-OB′=
∴t₂=3s
③當三角板向右平移5cm時，邊AC與⊙O第二次相切，t₃=5s
④當三角板向右平移，邊AB所在直線與⊙O第二次相切，設切點為P，在Rt△OPB″中
OP=2，∠OB″P=45°，
∴OB″=
∴BB″=
∴s
所以 t₁=1s 或 t₂=3s 或 t₃=5s 或 s

分析：（1）根據等腰直角三角形的腰長求得AC和BC的長，然后根據點C的坐標求得兩點的坐標即可；
（2）設拋物線的解析式為y=ax²，將點A的坐標代入即可求得拋物線的解析式；
（3）隨著三角形的運動分四種情況：①當三角板向右平移1cm時，AC與圓相切，②當三角板向右平移3cm時，AB與半圓相切，③當三角板向右平移5cm時，邊AC與⊙O第二次相切，④當三角板向右平移，邊AB所在直線與⊙O第二次相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運動的時間．
點評：本題考查了圓的綜合知識，要求學生熟練掌握圓與直線的位置關系，并結合常見的函數進行綜合分析，考查了學生數形結合的分析能力．