Question

如圖，已知二次函數的圖像過點A(-4，3），B(4，4).
（1）求二次函數的解析式：
（2）求證：△ACB是直角三角形；
（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D、為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

  解：（1）將A(-4，3），B(4，4)代人中，
整理得：   解得            
∴二次函數的解析式為： ，
整理得：                                       
（2）由 
整理                
∴x₁=-2  ，x₂=  
∴C （-2，0） D               
從而有：AC²=4+9     BC²=36+16   AC²+ BC²=13+52=65                      
AB²=64+1=65             
 ∴ AC²+ BC²=AB²  故△ACB是直角三角形            
（3）設 （X<0）                
PH=  HD=  AC=  BC=              
①當△PHD∽△ACB時有：              
即：   整理                
∴    （舍去）此時，           
 ∴             
 ②當△DHP∽△ACB時有：        
  即：   整理            
∴        （舍去）此時，        
  ∴          
綜上所述，滿足條件的點有兩個即