Question

【題目】（題文）（問題引領）

問題1：在四邊形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分別是AB，AD上的點．且∠ECF=60°．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結CG，先證明

△CBE≌△CDG，再證明△CEF≌△CGF．他得出的正確結論是________________．

（探究思考）

問題2：若將問題1的條件改為：四邊形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，

∠ECF= ∠BCD， 問題1的結論是否仍然成立？請說明理由．

（拓展延伸）

問題3：在問題2的條件下，若點E在AB的延長線上，點F在DA的延長線上，則問題2的結論是否仍然成立？若不成立，猜測此時線段BE、DF、EF之間存在什么樣的等量關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】EF=BE+DF

【解析】

問題1，先證明△CBE≌△CDG，再證明△CEF≌△CGF，最后用線段的和差即可得出結論；
問題2、先判斷出∠ABC=∠GDC，進而判斷出△CBE≌△CDG，再證明△CEF≌△CGF，最后用線段的和差即可得出結論；
問題3、同問題2的方法即可得出結論.

問題1、BE+FD=EF，

理由：延長FD到點G.使DG=BE.連結CG，

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∵

∴

∵

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE；

故答案為：EF=DF+BE；

問題2,問題1中結論仍然成立,如圖2,

理由：延長FD到點G.使DG=BE.連結CG，

∵

∴∠ABC=∠GDC,

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵

∴

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴EF=DF+DG=DF+BE；

問題3.結論：DF=EF+BE;理由：如圖3,

延長FD到點G.使DG=BE.連結CG，

∵

∴∠ABC=∠GDC

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG(SAS)，

∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，

∴∠BCD=∠ECG，

∵

∴

∴∠ECF=∠GCF，

在△CEF和△CGF中,

∴△CEF≌△CGF，

∴EF=GF，

∴DF=FG+DG=EF+BE；