Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C,已知拋物線的對稱軸為x=1，B(3,0),C(0,-3)，

（1）求二次函數y=ax2+bx+c的解析式；

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M,N兩點，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）點P的坐標(1,-6)．（3）或

【解析】試題分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中，聯立拋物線的對稱軸方程，即可求得該拋物線的解析式．（2）由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，若P到B、C的距離差最大，那么P點必為直線AC與拋物線對稱軸的交點，可先求出直線AC的解析式，聯立拋物線對稱軸方程，即可得到點P的坐標．(3) 根據拋物線和圓的對稱性，知圓心必在拋物線的對稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；(需注意的是圓心可能在軸上方，也可能在軸下方,需要分類討論)

試題解析：

（1）將C(0,-3)代入y=ax2+bx+c，得 c=3．

將c＝3，B(3,0)代入y=ax2+bx+c，得 ．∵是對稱軸，∴

將（2）代入（1）得：， ．所以，二次函數得解析式是．

（2）AC與對稱軸的交點P即為到B、C的距離之差最大的點．

∵C點的坐標為(0,-3)，A點的坐標為(-1,0)，

∴ 直線AC的解析式是，又對稱軸為，∴ 點P的坐標(1,-6)．

（3）設，所求圓的半徑為r，則 ，

∵ 對稱軸為， ∴．由（1）、（2）得：．

將代入解析式，得 ，

整理得： ．由于當時，，

解得，， （舍去），

當時，，解得， ， （舍去）．

所以圓的半徑是或．