Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD于點E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD=12，EC=10，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可；
（2）易得△BEC∽△ADB，根據相似三角形的性質可得

BE

AD

=

EC

DB

；代入數據可得答案．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠D=90°，∠A+∠ABD=90°．
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：∵OC⊥BD，
∴∠OEB=90°，
∴OE∥AD，
∴BE=ED=

1

2

BD=6．
∵∠BEC=∠D=90°，∠DBC=∠A，
∴△BEC∽△ADB，
∴

BE

AD

=

EC

DB

，
∴

6

AD

=

10

12

．
∴AD=7.2．

點評：本題考查的是切線的判定及相似三角形的判定與性質．注意要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．