Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若OC∥AD，OC交BD于點E，BD=6，CE=4，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）要證BC與⊙O相切；只需證明OB⊥BC即可，根據角之間的互余關系易得證明；
（2）根據平行線的性質可得OC⊥BD，進而可得△OBE∽△BCE，可得出比例關系式，

OE

BE

=

BE

EC

代入數據即可得到答案．

解答：（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠D=90°，AD⊥BD．（1分）
∴∠A+∠ABD=90°．（2分）
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．（3分）
∵OB是半徑，
∴BC與⊙O相切．（4分）

（2）解：∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．（5分）
∴BE=DE=

1

2

BD=3．（6分）
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．（7分）
∴

OE

BE

=

BE

EC

即

OE

3

=

3

4

，
∴OE=

9

4

．（9分）
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=

9

2

．（10分）

點評：本題考查切線的判定及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．