Question

   如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．
（1）求證：KE=GE；
（2）若=KD·GE，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；
（3） 在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．

Answer 1

(1)見解析（2）平行，理由見解析（3）

(1) 所以KE=GE
（2）
（3）
,
（1）連接OG．根據切線性質及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據等角對等邊得到KE=GE；
（2）AC與EF平行，理由為：連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；
（3）連接OG，OC．首先求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．