Question

如圖，正方形ABCD繞點A逆時針旋轉n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點O．
（1）以圖中已標有字母的點為端點連接兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連接的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；
（2）若正方形的邊長為2cm，若旋轉的角度為30°，求重疊部分（四邊形AEOD）的面積．
（3）我連接的兩條相交且互相垂直的線段是

 

和

 

．
理由如下：

Answer 1

分析：（1）由AD=AE，AO公共，易證Rt△ADO≌Rt△AEO，則PD=PE，得到AO⊥DE．
（2）由正方形的邊長為2cm，若旋轉的角度為30°，即AD=2cm，∠GAD=30°，則∠DAE=60°，∠DAO=∠OAE=30°，在Rt△ADO中，OD=

3

3

AD=

3

3

×2=

2 3

3

，可求出S_△ADO的面積，從而得到S_{四邊形AEOD}=2S_△ADO．

（3）兩條相交且互相垂直的線段是AO和DE．理由同（1）．

解答：解：（1）連AO，DE，它們相交于P點，如圖，
則AO⊥DE．理由如下：
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，∴∠DAO=∠EAO，
又AD=AE，
∴AO⊥DE（等腰三角形的“三線合一”）．

（2）若正方形的邊長為2cm，若旋轉的角度為30°，
即AD=2cm，∠GAD=30°，
∴∠DAE=60°，
由（1）得，∠DAO=∠OAE=30°，
在Rt△ADO中，tan30°=

OD

AD

，
則OD=

3

3

AD=

3

3

×2=

2 3

3

，
∴S_△ADO=

1

2

×2×

2 3

3

=

2 3

3

．
∴S_{四邊形AEOD}=2S_△ADO=

4 3

3

．

（3）兩條相交且互相垂直的線段是AO和DE．
∵AD=AE，AO公共，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴PD=PE，
∴AO⊥DE．
故答案為AO，DE．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形的性質和含30度角的直角三角形三邊關系以及三角形的面積公式．