Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是為（0,3）、（-1,0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′.

（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△OC′D的周長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)M在何處時(shí)；△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵□A′B′OC′由□ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,

點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3,0）.

∴拋物線過(guò)點(diǎn)C（-1,0），A（0,3），A′（3,0），

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，可得

解得

∴過(guò)點(diǎn)C，A，A′的拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）

解：∵AB//CO，∴∠OAB=∠AOC=90°，

∴OB= ，

又∠OC′D=∠OCA=∠B，

∠C′OD=∠BOA，∴△C′OD~△BOA，

又OC′=OC=1,

∴ ，

又△ABO的周長(zhǎng)為4+ ，

∴△C′OD的周長(zhǎng)為 .

（3）

解：連接OM，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），

∵點(diǎn)M在拋物線上，

∴n=-m2+2m+3，

∴ ，

= OA·m+ OA′·n- OA·OA′

= （m+n）-

= (m+n-3)

= (m2-3m)= （m ）2+ .

∵0<m<3，∴當(dāng)m= 時(shí)，n= ，△AMA′的面積有最大值，

∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）時(shí)，△AMA′的面積有最大值，且最大值為 .

【解析】（1）需要求A′的坐標(biāo)，由A（0,3）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則A′在x軸上且OA′=OA=3，則A′(3,0)；運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）根據(jù)勾股定理易求得OB的長(zhǎng)；由角OC′D=角OCA=角B，角C′OD=角BOA，則△C′OD~△BOA，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，可先求得相似比和△BOA的周長(zhǎng)，則可求出△OC′D的周長(zhǎng)；（3）可設(shè)M（m，n）代入拋物線可得n與m的關(guān)系式，而 ，由面積= 底乘高，將上式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得 與m的關(guān)系式，由0<m<3，討論m取何值時(shí) 最大.