Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為1，AC是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線BC，E是BC的中點，AB交⊙O于D點．

（1）直接寫出ED和EC的數量關系： ；
（2）DE是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；
（3）填空：當BC= 時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點O、D、E、C為頂點的四邊形是 ．

Answer 1

【答案】
（1）ED=EC
（2）

DE是⊙O的切線．理由如下：

連接OD，如圖，

∵BC為切線，

∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，

∵OC=OD，ED=EC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切線；

（3）2；正方形
【解析】（1）連接CD，如圖，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，
∵E是BC的中點，∴ED=EC=BE.
3）當BC=2 時， ∵CA=CB=2，
∴CE=DE=1 ， OC=OD=1，
又∵OC⊥CE，∴四邊形 ODEC為正方形．
∴AO=DE=1，且 AO∥DE，∴四邊形AOED是平行四邊形．
（1）根據直徑所對的圓周角是90度，可得CD⊥AB，由E是BC的中點，可得斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）根據等邊對等角，通過角的等量代換可得∠ODE=90°；（3）要使四邊形AOED是平行四邊形，則對邊相等且平行，即DE=OA=1，則BC=2DE=2，此時OC=OD=CE=DE=1，且OC⊥CE，則四邊形ODEC為正方形.