Question

【題目】已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數圖象上的點，當四邊形ABCD（A．B．C．D各點依次排列）為正方形時，我們稱這個正方形為此函數圖象的“和諧正方形”．例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數y＝x+1圖象的其中一個“和諧正方形”．

（1）如圖1，若某函數是一次函數y＝x+1，求它的圖象的所有“和諧正方形”的邊長；

（2）如圖2，若某函數是反比例函數y＝（k＞0），它的圖象的“和諧正方形”為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數的解析式；

（3）如圖3，若某函數是二次函數y＝ax2+c（a≠0），它的圖象的“和諧正方形”為ABCD，C、D中的一個點坐標為（3，4），請求出該二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）1，y＝；（3）或或或

【解析】

（1）利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長，注意有兩種情況．

（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標表示出點C的坐標從而求解．

（3）由題意得拋物線開口既可能向上，也可能向下．當拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點（3，4）的左邊，也可能在點（3，4）的右邊，過點（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標；當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論．

解：（1）（I）當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時：

∵四邊形ABCD是正方形，一次函數y＝x+1的圖象與坐標軸的交點為C，D，

∴D（0，.1），C（﹣1，0），

∴OD＝OD＝1，

∴＝ ＝ ，

∴正方形ABCD的邊長為．

（II）當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時：

設正方形邊長為a，易得3a＝，

解得a＝ ，此時正方形的邊長為 ．

∴所求“和諧正方形”的邊長為或；

（2）如圖，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點E、F，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CBA＝∠DAB＝90°，BC＝BA＝AD，

∵∠CFB＝∠BOA＝∠DEA＝90°

∴∠FBC＝∠BAO＝∠ADE，

∴△ADE≌△BAO≌△CBF（AAS）．

∵點D的坐標為（2，m），m＜2，

∴DE＝OA＝BF＝m，

∴OB＝AE＝CF＝2﹣m．

∴OF＝BF+OB＝2，

∴點C的坐標為（2﹣m，2）．

∴2m＝2（2﹣m），解得m＝1．

∴反比例函數的解析式為y＝；

（3）實際情況是拋物線開口向上的兩種情況中，另一個點都在（3，4）的左側，而開口向下時，另一點都在（3，4）的右側，與上述解析明顯不符合，

①當點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，點C坐標為（3，4）時：另外一個頂點為（4，1），對應的函數解析式是y＝；

②當點A在x 軸正半軸上，點 B在 y軸正半軸上，點D 坐標為（3，4）時：不存在，

③當點A 在 x 軸正半軸上，點 B在 y軸負半軸上，點C 坐標為（3，4）時：不存在；

④當點A在x 軸正半軸上，點B在y軸負半軸上，點D坐標為（3，4）時：另外一個頂點C為（﹣1，3），對應的函數的解析式是y＝；

⑤當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（7，﹣3）時，對應的函數解析式是y＝；

⑥當點A在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，點C坐標為（3，4）時，另一個頂點D的坐標是（﹣4，7）時，對應的拋物線為y＝；

綜合以上可得二次函數的解析式分別為：或或或