Question

某興趣小組在學習了勾股定理之后提出：“銳（鈍）角三角形有沒有類似于勾股定理的結論”的問題．首先定義了一個新的概念：如圖（1）△ABC中，M是BC的中點，P是射線MA上的點，設

AP

PM

=k，若∠BPC=90°，則稱k為勾股比．

（1）如圖（1），過B、C分別作中線AM的垂線，垂足為E、D．求證：CD=BE．
（2）①如圖（2），當=1，且AB=AC時，AB²+AC²=______BC²（填一個恰當的數）．
②如圖（1），當k=1，△ABC為銳角三角形，且AB≠AC時，①中的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，也請說明理由；
③對任意銳角或鈍角三角形，如圖（1）、（3），請用含勾股比k的表達式直接表示AB²+AC²與BC²的關系（寫出銳角或鈍角三角形中的一個即可）．

Answer 1

（1）證明：∵M是BC的中點，
∴BM=CM，
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
在△BME和△CMD中，

∠E=∠CDM=90° ∠BME=∠DMC BM=CM

，
∴△BME≌△CMD（AAS），
∴CD=BE；

（2）①AB²+AC²=2.5BC²．
理由如下：∵AM是△ABC的中線，
∴PM=BM=CM=

1

2

BC，
∵k=1，
∴AP=PM，
∴AM=2PM=BC，
在Rt△ABM中，AB²=AM²+BM²=BC²+

1

4

BC²=

5

4

BC²，
在Rt△ACM中，AC²=AM²+CM²=BC²+

1

4

BC²=

5

4

BC²，
∴AB²+AC²=

5

4

BC²+

5

4

BC²=2.5BC²；
即AB²+AC²=2.5BC²；

②結論仍然成立．
設EM=DM=a，則AE=AM+a，AD=AM-a，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=（AM+a）²+BE²=AM²+2AM•a+a²+BE²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=（AM-a）²+CD²=AM²-2AM•a+a²+CD²，
∴AB²+AC²=2AM²+（a²+BE²）+（a²+CD²），
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
∴a²+BE²=BM²=

1

4

BC²，a²+CD²=CM²=

1

4

BC²，
∴AB²+AC²=2AM²+

1

2

BC²，
∵

AP

PM

=1，
∴AP=PM，
∵∠BPC=90°，AM是△ABC的中線，
∴PM=

1

2

BC，
若△ABC是銳角三角形，則AM=AP+PM=PM+PM=（1+1）PM=BC，
∴AB²+AC²=2×BC²+

1

2

BC²=

5

2

BC²，
即AB²+AC²=2.5BC²；

③結論：銳角三角形：AB²+AC²=

k2+2k+2

2

BC²，
鈍角三角形：AB²+AC²=

k2-2k+2

2

BC²，
理由如下：設EM=DM=a，則AE=AM+a，AD=AM-a，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=（AM+a）²+BE²=AM²+2AM•a+a²+BE²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=（AM-a）²+CD²=AM²-2AM•a+a²+CD²，
∴AB²+AC²=2AM²+（a²+BE²）+（a²+CD²），
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
∴a²+BE²=BM²=

1

4

BC²，a²+CD²=CM²=

1

4

BC²，
∴AB²+AC²=2AM²+

1

2

BC²，
∵

AP

PM

=k，
∴AP=kPM，
∵∠BPC=90°，AM是△ABC的中線，
∴PM=

1

2

BC，
若△ABC是銳角三角形，則AM=AP+PM=kPM+PM=（k+1）PM=

k+1

2

BC，
∴AB²+AC²=2×（

k+1

2

BC）²+

1

2

BC²=

k2+2k+2

2

BC²，
即AB²+AC²=

k2+2k+2

2

BC²；
若△ABC是鈍角三角形，則AM=PM+AP=PM-kPM=（1-k）PM=

1-k

2

BC，
AB²+AC²=2×（

1-k

2

BC）²+

1

2

BC²=

k2-2k+2

2

BC²，
即AB²+AC²=

k2-2k+2

2

BC²．