Question

【題目】如圖，拋物線C1：的頂點為A，與x軸的正半軸交于點B.

（1）請直接寫出A、B兩點的坐標，A ，B .

（2）將拋物線C1上的點的橫坐標和縱坐標都擴大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式；

（3）將拋物線C1上的點（x，y）變為（kx，ky）（|k|＞1），變換后得到的拋物線記作C2.拋物線C2的頂點為C，點P在拋物線C2上，滿足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.

①當k＞1時，求k的值；

②當k＜-1時，請你直接寫出k的值，不必說明理由.

Answer 1

【答案】(1)A(1,);B(2,0);(2) y=-x2+2x；（3）①；② -.

【解析】

（1）把函數解析式化為頂點式即可得到A（1，），解方程即可得到B（2，0）；

（2）由拋物線C1解析式求出A、B及原點坐標，將三點坐標都擴大到原來的2倍，待定系數求解可得；

（3）①如圖1中，當k＞1時，與（1）同理可得拋物線C2的解析式為y=-x2+2x及頂點C的坐標，根據S△PAC=S△ABC知BP∥AC，繼而可得△ABO是邊長為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，表示出點P的坐標，將其代入到拋物線C2解析式可求得k的值；

②如圖2中，當k＜-1時，作△ABO關于y軸對稱的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四邊形CEBP是矩形，先求出拋物線C2解析式，表示出點P的坐標，將其代入到拋物線C2解析式可求得k的值；

(1)A(1,);B(2,0);

（2）∵y=-x2+2x=-（x-1）2+，

∴拋物線C1經過原點O，點A（1，）和點B（2，0）三點，

∴變換后的拋物線經過原點O，（2，2）和（4，0）三點，

∴變換后拋物線的解析式為y=-x2+2x；

（3）①如圖1中，當k＞1時，

∵拋物線C2經過原點O，（k，k），（2k，0）三點，

∴拋物線C2的解析式為y=-x2+2x，

∴O、A、C三點共線，且頂點C為（k，k），

如圖，∵S△PAC=S△ABC，∴BP∥AC，

過點P作PD⊥x軸于D，過點B作BE⊥AO于E，

由題意知△ABO是邊長為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，

∴OE=1，CE=BP=2k-1，

∵∠PBD=60°，∴BD=k-，PD=（2k-1），

∴P（k+，（2k-1）），

∴（2k-1）=-（k+）2+2（k+），

解得：k=；

②如圖2中，當k＜-1時，

∵拋物線C2經過原點O，（k，k），（2k，0）三點，

∴拋物線C2的解析式為y=-x2+2x，

∴O、A、C′三點共線，且頂點C′為（k，k），

作△ABO關于y軸對稱的△A′B′O，OE′⊥A′B′，

∵S△PAC′=S△ABC=S△AC′B′，

∴A′P∥AC′，由題意四邊形PC′OE′是矩形，

∴PE′=OC′=-2k，B′E′=1，PB′=-2k-1，

在Rt△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，

∴DB′=PB′=，DP=（-2k-1），∴點P坐標[，（2k+1）]，

∴（2k+1）=-（）2+2（）

∴k=-．