Question

如圖，已知y=

1

2

x2+px+q（q≠0）與直線y=x交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA=BO，BC∥x軸．
（1）求p和q的值；
（2）設D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點（點E在點D的右上方），DE=

2

，過D作y軸的平行線，交拋物線于F．
①設點D的橫坐標為t，△EDF的面積為S，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；
②又過點E作y軸的平行線，交拋物線于G，試問能不能適當選擇點D的位置，使四邊形DFGE是平行四邊形？如果能，求出此時點D的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得C（0，q），又由BC∥x軸，且點B在直線y=x上，可求得點B的坐標，由OA=BO知，點A、B關于原點對稱，求得點A的坐標，然后代入函數解析式，即可求得p和q的值與此二次函數的解析式；
（2）①由點D直線x=t和y=x上，可求得點D的坐標，而點F在直線x=t上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，即可得點F的坐標，然后過點E作EH⊥DF的延長線于H，由DE=

2

可知，EH=1，S=

1

2

DF•EH，即可求得答案；
②易知E（t+1，t+1），而點G在直線x=t+1上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，即可知點G的坐標與EG的長，若四邊形DFGE是平行四邊形，則EG=DF，即可求得t的值，則可得滿足條件的點D存在，其坐標為（-

1

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）由題意得C（0，q），
∵BC∥x軸，且點B在直線y=x上，
由y=

1

2

x²+px+q，可知，點B的坐標為（q，q），
由OA=BO知，點A、B關于原點對稱，
∴點A的坐標為（-q，-q），
∴

1 2 q2+pq+q=q 1 2 (-q)2+p(-q)+q=-q

，
解得：p=1，q=-2，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+x-2；

（2）①∵點D直線x=t和y=x上，
由（1）可知道點D的坐標為（t，t），
而點F在直線x=t上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，
∴點F的坐標為（t，

1

2

t²+t-2），
過點E作EH⊥DF的延長線于H，由DE=

2

可知，EH=1，
DF=t-（

1

2

t²+t-2）=-

1

2

t²+2，
∴S=

1

2

DF•EH=

1

2

（-

1

2

t²+2）×1=-

1

4

t²+1．
解方程組：

y= 1 2 x2+x-2 y=x

，
解得：

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

∴點A（2，2），B（-2，-2），
∴t的取值范圍為-2＜t＜1，且當t=0時，S有最大值1．
②易知E（t+1，t+1），而點G在直線x=t+1上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，
可知點G的坐標為（t+1，

1

2

（t+1）²+（t+1）-2），
∴EG=（t+1）-[

1

2

（t+1）²+（t+1）-2]=-

1

2

t²-t-

3

2

，
若四邊形DFGE是平行四邊形，則EG=DF，即-

1

2

t²-t-

3

2

=-

1

2

t²+2，
解得：t=-

1

2

．
∴滿足條件的點D存在，其坐標為（-

1

2

，-

1

2

）．

點評：此題考查了二次函數的綜合應用．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．