Question

如圖，已知A₁，A₂，A₃，…，A_n是x軸上的點，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分別過點A₁，A₂，A₃，…，A_n+1作x軸的垂線交一次函數y=

1

2

x的圖象于點B₁，B₂，B₃，…，B_n+1，連接A₁B₂，B₁A₂，A₂B₃，B₂A₃，…，A_nB_n+1，B_nA_n+1依次產生交點P₁，P₂，P₃，…，P_n，則P_n的坐標是

 

．

Answer 1

分析：由已知可以得到A₁，A₂，A₃，…點的坐標分別為：（1，0），（2，0），（3，0），…，又得作x軸的垂線交一次函數y=

1

2

x的圖象于點B₁，B₂，B₃，…的坐標分別為（1，

1

2

），（2，1），（3，

3

2

），…，由此可推出點A_n，B_n，A_n+1，B_n+1的坐標為，（n，0），（n，

n

2

），（n+1，0），（n+1，

n+1

2

）．由函數圖象和已知可知要求的P_n的坐標是
直線A_nB_n+1和直線A_n+1B_n的交點．在這里可以根據推出的四點求出兩直線的方程，從而求出點P_n．

解答：解：由已知得A₁，A₂，A₃，…的坐標為：（1，0），（2，0），（3，0），…，
又得作x軸的垂線交一次函數y=

1

2

x的圖象于點B₁，B₂，B₃，…的坐標分別為（1，

1

2

），（2，1），（3，

3

2

），…．
由此可推出A_n，B_n，A_n+1，B_n+1四點的坐標為，（n，0），（n，

n

2

），（n+1，0），（n+1，

n+1

2

）．
所以得直線A_nB_n+1和A_n+1B_n的直線方程分別為：
y-0=

0- n+1 2

n-(n+1)

（x-n）+0，
y-0=

0- n 2

n+1-n

（x-n-1）+0，
即

y= n+1 2 (x-n) y=- n 2 (x-n-1)

，
解得：

x=n+ n 2n+1 y= n2+n 4n+2

，
故答案為：（n+

n

2n+1

，

n2+n

4n+2

）．

點評：此題考查的知識點是一次函數的綜合應用，同時也考查了學生對數字規律問題的分析歸納的能力．解答此題的關鍵是先確定相交于P_n點的兩直線的方程．