Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BC延長線一點，且BC＝CD，CE⊥AD于點E．

（1）求證：直線EC為⊙O的切線；

（2）設BE與⊙O交于點F，AF的延長線與EC交于點P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝3．求：cos∠PEF的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）說明OC是△BDA的中位線，利用中位線的性質(zhì)，得到∠OCE=∠CED=90°，從而得到CE是圓O的切線．

（2）利用直徑上的圓周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，從而得到PC=PE=5．然后求出cos∠PEF的值．

（1）證明：∵CE⊥AD于點E

∴∠DEC＝90°，

∵BC＝CD，

∴C是BD的中點，

又∵O是AB的中點，

∴OC是△BDA的中位線，

∴OC∥AD，

∴∠OCE＝∠CED＝90°，

∴OC⊥CE，

又∵點C在圓上，

∴CE是圓O的切線；

（2）連接AC，

∵AB是直徑，點F在圓上

∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，

∵∠EPF＝∠EPA，

∴△PEF∽△PEA，

∴PE2＝PF×PA，

∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF，

又∵∠CPF＝∠CPA，

∴△PCF∽△PAC，

∴PC2＝PF×PA，

∴PE＝PC，

在直角△PEF中，

∴EF＝4，cos∠PEF＝．