Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，2），點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l，交拋物線于點Q．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BD的解析式；
（3）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，是否存在點P，使得四邊形CQMD是平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：∵點C與點D關于x軸對稱，

∴D（0，﹣2），

∴可設直線BD解析式為y=kx﹣2，

把B（4，0）代入可得4k﹣2=0，解得k= ，

∴直線BD的解析式為y= x﹣2

（3）

解：如圖所示，

設Q（m，﹣ m2+ m+2），則M（m， m﹣2），

∴QM=﹣ m2+ m+2﹣（ m﹣2）=﹣ m2+m+4，

∵QM∥CD，

∴當QM=CD時，四邊形CQMD是平行四邊形，

∴﹣ m2+m+4=4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=2，

∴當m=2時，四邊形CQMD是平行四邊形

【解析】（1）由A、B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）由對稱性可求得D點坐標，利用待定系數法可求得直線BD的解析式；（3）用m可表示出M、Q的坐標，則可表示出QM的長，由平行四邊形的性質可知QM∥CD且QM=CD，則可得到關于m的方程，可求得m的值．