Question

如圖，已知⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為F，點E在AB上，且EA=EC．
（1）求證：AC²=AE•AB；
（2）延長EC到點P，連接PB，若PB=PE，試判斷PB與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求證：AC²=AE•AB，只要證明△AEC∽△ACB即可；
（2）判斷PB為⊙O的切線，只要證明PB⊥OB即可．

解答：（1）證明：連接BC，
∵AB⊥CD，CD為⊙O的直徑，
∴BC=AC．
∴∠1=∠2．
又∵AE=CE，
∴∠1=∠3．
∴△AEC∽△ACB．
∴

AC

AB

=

AE

AC

．
即AC²=AB•AE．（4分）

（2）解：PB與⊙O相切．理由如下：
連接OB，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠PEB=∠1+∠3=2∠2．
∵∠PBE=∠2+∠PBC，∴∠PBC=∠2，
∵∠OBC=∠OCB．
∴∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠OCB+∠2=90°．
∴PB⊥OB．
即PB為⊙O的切線．（10分）

點評：證明線段的乘積相等的問題一般可以轉化為三角形相似問題，證明切線的問題，可以轉化為證明切線是垂直于半徑，并且經過半徑的外端點．