Question

如圖1，二次函數(shù)y=ax²-2ax-3a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C．
①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖2，點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接BE，將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△PMN（點(diǎn)P、M、N分別和點(diǎn)O、B、E對(duì)應(yīng)），并且點(diǎn)M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點(diǎn)F，若線段MF：BF=1：2，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
③點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點(diǎn)，并且和直線CD相切，如圖3，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）①以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，即點(diǎn)C在以AD為直徑的圓的圓周上，依據(jù)圓周角定理不難得出△ACD是個(gè)直角三角形，且∠ACD=90°，A點(diǎn)坐標(biāo)可得，而C、D的坐標(biāo)可由a表達(dá)出來，在得出AC、CD、AD的長(zhǎng)度表達(dá)式后，依據(jù)勾股定理列等式即可求出a的值，由此得出拋物線的解析式．
②將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN，說明了PM正好和x軸平行，且PM=OB=1，所以求M、N的坐標(biāo)關(guān)鍵是求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；首先根據(jù)①的函數(shù)解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)題干條件：BF=2MF作為等量關(guān)系進(jìn)行解答即可．
③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G，連接QG，由C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出∠CDQ=45°，那么△QGD為等腰直角三角形，即QD²=2QG²=2QB²，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后用Q點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)出QD、QB的長(zhǎng)，根據(jù)上面的等式列方程即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a）．

（2）①∵以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，
∴△ACD為直角三角形，且∠ACD=90°；
由y=ax²-2ax-3a=a（x-3）（x+1）知，A（3，0）、B（-1，0）、C（0，-3a），則：
AC²=（0-3）²+（-3a-0）²=9a²+9、CD²=（0-1）²+（-3a+4a）²=a²+1、AD²=（3-1）²+（0+4a）²=16a²+4
由勾股定理得：AC²+CD²=AD²，即：9a²+9+a²+1=16a²+4，
化簡(jiǎn)，得：a²=1，由a＜0，得：a=-1
即，拋物線的解析式：y=-x²+2x+3．
②∵將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN，
∴PM∥x軸，且PM=OB=1；
設(shè)M（x，-x²+2x+3），則OF=x，MF=-x²+2x+3，BF=OF+OB=x+1；
∵M(jìn)F：BF=1：2，即BF=2MF，
∴2（-x²+2x+3）=x+1，化簡(jiǎn)，得：2x²-3x-5=0
解得：x₁=-1、x₂=

5

2

∴M（

5

2

，

7

4

）、N（

3

2

，

15

4

）．
③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G，連接QG，過C作CH⊥QD于H，如右圖；
設(shè)Q（1，b），則QD=4-b，QB²=QG²=（1+1）²+（b-0）²=b²+4；
∵C（0，3）、D（1，4），
∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD²=2QG²；
代入數(shù)據(jù)，得：
（4-b）²=2（b²+4），化簡(jiǎn)，得：b²+8b-8=0，
解得：b=-4±2

6

；
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-4+2

6

）或（1，-4-2

6

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、圓周角定理以及直線和圓的位置關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)；后兩個(gè)小題較難，最后一題中，通過構(gòu)建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半徑間的數(shù)量關(guān)系是解題題目的關(guān)鍵．