Question

把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞O點逆時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．
（1）在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；
（2）連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

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？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）在上述旋轉過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變．
證明：連接CG，KH，
∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH與△CGK中，

∠B=∠KCG BG=CG ∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4=4，
即：S_{四邊形CHGK}的面積為4，是一個定值，在旋轉過程中沒有變化；

（2）∵AC=BC=4，Bk=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S_△GHK=S_{四邊形CHGK}-S_△CHK，
得y=4-

1

2

x（4-x），
∴y=

1

2

x²-2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；

（3）存在．
根據題意，得

1

2

x²-2x+4=

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×8，
解這個方程，得x₁=1，x₂=3，
即：當x=1或x=3時，△GHK的面積均等于△ABC的面積的

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．