Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，E是CB延長線上一個動點，F、G分別為AE、BC的中點，FG與ED相交于點H．

（1）求證：HE＝HG；

（2）如圖2，當BE＝AB時，過點A作AP⊥DE于點P，連接BP，求PQ與PB的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PQPB，理由見解析．

【解析】

（1）連接AG，并延長AG交DC的延長線于M，連接EM，G為BC的中點，根據矩形的性質得出∠ABG=∠DCB=90°，根據全等三角形的判定得出△ABG≌△MCG，根據全等三角形的性質得出GA=GM，求出FG∥EM，根據平行線的性質得出∠HGE=∠MEC，求出△DEC≌△MEC，根據全等三角形的性質得出∠DEC=∠MEC，求出∠HEG=∠HGE即可；

（2）過點B作BQ⊥BP交DE于Q，求出∠APE=∠ABE=90°，∠BEQ=∠BAP，∠EBQ=∠ABP，根據全等三角形的判定得出△BEQ≌△BAP，根據全等三角形的性質得出BQ=BP，PA=QE，求出△PBQ是等腰直角三角形，即可得出答案．

（1）證明：連接AG，并延長AG交DC的延長線于M，連接EM，

∵G為BC的中點，

∴BG＝CG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABG＝∠DCB＝90°，

∴∠ABG＝∠MCG＝90°，

在△ABG和△MCG中，

，

∴△ABG≌△MCG(ASA)，

∴GA＝GM，

∵F為AE的中點，

∴FA＝FE，

∴FG是△AEM的中位線，

∴FG∥EM，

∴∠HGE＝∠MEC，

在△DCE和△MCE中，

，

∴△DEC≌△MEC(SAS)，

∴∠DEC＝∠MEC，

∵∠HGE＝∠MEC，

∴∠HEG＝∠HGE，

∴HE＝HG；

（2）答：PQPB

理由：過點B作BQ⊥BP交DE于Q，則∠QBP＝90°，

∵AP⊥DE，四邊形ABCD是矩形，

∴∠APE＝∠ABE＝90°，

∵∠APO＋∠AOP＋∠BAP＝180°，∠EOB＋∠ABE＋∠BEP＝180°，∠AOP＝∠EOB，

∴∠BEQ＝∠BAP，

∵∠QBP＝∠ABE＝90°，

∴∠EBQ＝∠ABP＝90°﹣∠ABQ，

在△ABP和△EBQ中，

，

∴△BEQ≌△BAP(ASA)，

∴BQ＝BP，PA＝QE，

∴△PBQ是等腰直角三角形，

∴PQPB．