Question

【題目】在平面直角坐標系中，圖形的投影矩形定義如下：矩形的兩組對邊分別平行于軸，軸，圖形的頂點在矩形的邊上或內部，且矩形的面積最小.設矩形的較長的邊與較短的邊的比為，我們稱常數為圖形的投影比，如圖1，矩形為的投影矩形，其投影比.

（1）如圖2，若點，則投影比的值為________________；

（2）已知點，點，且投影比，則點坐標可能是__________（填寫序號）；

① ② ③ ④

（3）已知點，在直線上有一點和一動點，且，是否存在這樣的，使得的投影比為定值？若存在，請求出的范圍及定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①②；（3）當m≤1時，k=2；當3≤m＜5時，k=4．

【解析】

（1）在圖2中做出投影矩形，根據投影比可得到結論．

（2）根據每一個點作投影圖形，分別討論即可得到答案；

（3）根據題意畫出圖形，根據m的取值分類討論．

（1）如圖2，過點B作軸于點C，作軸于點D，則矩形OCBD為△OAB的投影矩形，

∵，

∴OC=3，BC=6，

∴△OAB投影比k的值=2,．

（2）如圖，

①點P的坐標為時，投影比；

②點P的坐標為時，投影比；

③點P的坐標為時，投影比；

④點P的坐標為時，投影比；

故答案是①②．

（3）在中，y=2時，則x=1；x=5時，y=10，

∴F（5,10）

當m≤1時，作為投影矩形，如圖所示，

此時點P（m,2m），PA′=10-2m，FA′=5-m，

∴投影比k=；

當3≤m＜5時，此時A′E=10-2=8，B′E=5-3=2，此時k=．

綜上所述：當m≤1時，k=2；當3≤m＜5時，k=4．