Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點，連接BE．

（1）求證：四邊形BCDE為菱形；

（2）連接AC，若AC平分∠BAD，AB＝2，求菱形BCDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】

（1）根據菱形的判定證明即可；

（2）根據等邊三角形的性質菱形的性質和三角函數解答即可．

（1）證明：∵E為AD的中點，

∴AD＝2DE＝2AE，

∵AD＝2BC，

∴DE＝BC，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BCDE為平行四邊形，

∵∠ABD＝90°，E為AD中點，

∴在Rt△ABD中，AD＝2BE，

∴BE＝DE，

∴四邊形BCDE為菱形；

（2）解：過點BF⊥AD于點F，如圖所示：

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

又∵AD∥BC，

∴∠BCA＝∠DAC，

∴∠BCA＝∠BAC，

∴AB＝BC，

∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2，

∴△ABE為等邊三角形，

∴∠BAE＝60°，∠BDA＝30°

∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝2

∴在Rt△BDF中，BF＝BD＝，

∴菱形BCDE的面積＝DE×BF＝2．