Question

【題目】問題：如圖甲，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，求度數(shù)的大小和等邊三角形的邊長

探究：解題思路是：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖乙，連接

（1）是_______三角形，是______三角形，

（2）利用可以求出的邊長為_______

拓展應(yīng)用：如圖丙，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，

（3）求度數(shù)的大小

（4）求正方形的邊長

Answer 1

【答案】（1）等邊；直角；；（2）；（3）；（4）

【解析】

試題分析：

探究：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接，可得是等邊三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以，而，進(jìn)而求出等邊的邊長為，問題得到解決

拓展應(yīng)用：求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出，推出，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，求出，，利用勾股定理即可求出

試題解析：

解：（1）∵是等邊三角形

∴

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得出

∴，，，

∵

∴

∴是等邊三角形

∴，

∵，

∴

∴，則是直角三角形

∴

（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)

∴，

由勾股定理得：

故答案為：等邊；直角；；

（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

與（1）類似：可得，，，

∴

∴

由勾股定理得：

∵，，

∴

∴

∴

（4）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)

∴

∴

∴

∴在中，由勾股定理，得

∴，正方形邊長為