Question

已知拋物線y=a（x-m）²+n與y軸交于點A，它的頂點為點B，點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．
（1）如圖1，求拋物線y=（x-2）²+1的伴隨直線的解析式．
（2）如圖2，若拋物線y=a（x-m）²+n（m＞0）的伴隨直線是y=x-3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式．
（3）如圖3，若拋物線y=a（x-m）²+n的伴隨直線是y=-2x+b（b＞0），且伴隨四邊形ABCD是矩形．
①用含b的代數式表示m、n的值；
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBD是一個等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標（用含b的代數式表示）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y=（x-2）²+1的與y軸交于點A（0，5），它的頂點為點B（2，1），求出直線解析式即可；
（2）首先得出點A的坐標為（0，-3），以及點C的坐標為（0，3），進而求出BE=2，得出頂點B的坐標求出解析式即可；
（3）①由已知可得A坐標為（0，b），C點坐標為（0，-b），以及n=-2m+b，即點B點的坐標為（m，-2m+b），利用勾股定理求出；
②利用①中B點坐標，以及BD的長度即可得出P點的坐標．

解答：解：（1）由拋物線y=a（x-m）²+n與y軸交于點A，它的頂點為點B，
∴拋物線y=（x-2）²+1的與y軸交于點A（0，5），它的頂點為點B（2，1），
設所求直線解析式為y=kx+b，
∴

1=2k+b 5=b

，
解得：

k=-2 b=5

，
∴所求直線解析式為y=-2x+5；

（2）如圖，作BE⊥AC于點E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，點A的坐標為（0，-3），
點C的坐標為（0，3），
可得：AC=6，
∵平行四邊形ABCD的面積為12，
∴S_△ABC=6即S_△ABC=

1

2

AC•BE=6，
∴BE=2，
∵m＞0，即頂點B在y軸的右側，且在直線y=x-3上，
∴頂點B的坐標為（2，-1），
又拋物線經過點A（0，-3），
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-2）²-1；

（3）①如圖，作BF⊥x軸于點F，
由已知可得A坐標為（0，b），C點坐標為（0，-b），
∵頂點B（m，n）在直線y=-2x+b（b＞0）上，
∴n=-2m+b，即點B點的坐標為（m，-2m+b），
在矩形ABCD中，CO=BO．
∴b=

FO 2+FB2

，
∴b²=m²+4m²-4mb+b²，
∴m=

4

5

b，
n=-2×

4

5

b+b=-

3

5

b，

②∵B點坐標為（m，n），即（

4

5

b，-

3

5

b），
∴BO=

( 4 5 b) 2+(- 3 5 b) 2

=b，
∴BD=2b，
當BD=BP，
∴PF=2b-

3

5

b=

7

5

b，
∴P點的坐標為（

4

5

b，

7

5

b）；
如圖3，當DP=PB時，
過點D作DE⊥PB，于點E，
∵B點坐標為（

4

5

b，-

3

5

b），
∴D點坐標為（-

4

5

b，

3

5

b），
∴DE=

8

5

b，BE=

6

5

b，設PE=x，
∴DP=PB=

6

5

b+x，
∴DE²+PE²=DP²，
∴(

8

5

b)2+x²=（

6

5

b+x）²，
解得：x=

7

15

b，
∴PF=PE+EF=

7

15

b+

3

5

b=

16

15

b，
∴此時P點坐標為：（

4

5

b，

16

15

b）；
同理P可以為（

4

5

b，-

13

5

b）；（

4

5

b，

9

5

b），
故P點坐標為：（

4

5

b，

7

5

b）；（

4

5

b，

16

15

b）；（

4

5

b，-

13

5

b）；（

4

5

b，

9

5

b）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及勾股定理和點的坐標性質，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．