Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點，連接BE．
（1）求證：四邊形BCDE為菱形；
（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD=2BC，E為AD的中點，

∴DE=BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∵∠ABD=90°，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四邊形BCDE是菱形

（2）解：連接AC．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，

∴AB=BC=1，

∵AD=2BC=2，

∴sin∠ADB= ，

∴∠ADB=30°，

∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，∵AD=2，

∴CD=1，AC= ．

【解析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE即可解決問題；（2）在Rt△只要證明∠ADC=60°，AD=2即可解決問題；
【考點精析】通過靈活運用直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可以解答此題．