Question

已知拋物線y=x²+bx+c經過原點，且在x軸的正半軸上截得的線段長為4，對稱軸為直線x=m．過點A的直線繞點A （ m，0 ） 旋轉，交拋物線于點B （ x，y ），交y軸負半軸于點C，過點C且平行于x軸的直線與直線x=m交于點D，設△AOB的面積為S₁，△ABD的面積為S₂．
（1）求這條拋物線的頂點的坐標；
（2）判斷S₁與S₂的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經過原點，且在x軸的正半軸上截得的線段的長為4，
∴c=0，A（2，0），圖象與x軸的另一個交點E的坐標為（4，0），對稱軸為直線x=2．
∴拋物線為y=x²+bx經過點E（4，0）．
∴b=-4，∴y=x²-4x．
∴頂點坐標為（2，-4）．
答：這條拋物線的頂點的坐標是（2，-4）．

（2）答：S₁與S₂的大小關系是S₁=S₂．
證明：設經過點A（2，0）的直線為y=kx+b（k≠0），
∴0=2k+b．∴k=-b，
∴y=-x+b，
∴點B₁的坐標為（x₁，-x+b），
點B₂的坐標為（x₂，-x+b），
當交點為B₁時，
S₁=×2×|-x₁+b|=b-x₁，
S₂=×|b|×|2-x₁|=b-x₁，
∴S₁=S₂，
當交點為B₂時，
S₁=×2×|-x₂+b|=-x₂+b，
S₂=×|b|×|x₂-2|=-x₂+b，
∴S₁=S₂，
綜上所述，S₁=S₂．
分析：（1）根據拋物線經過原點，且在x軸的正半軸上截得的線段的長為4，得出c=0，圖象與x軸的交點A、E的坐標，對稱軸為直線x=2，代入即可求出答案；
（2）設經過點A（2，0）的直線為y=kx+b（k≠0），代入求出y=-x+b．設點B₁的坐標為（x₁，-x+b），點B₂的坐標為（x₂，-x+b）．當交點為B₁時，根據三角形的面積公式求出即可；當交點為B₂時，根據三角形的面積公式求出即可．
點評：本題主要考查對三角形的面積，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，能熟練地運用性質進行計算是解此題的關鍵．