Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點P由C點出發以2m/s的速度向終點A勻速移動，同時點Q由點B出發以1m/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也隨之停止移動．

（1）經過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的？

（2）經過幾秒，△PCQ與△ACB相似？

（3）如圖2，設CD為△ACB的中線，那么在運動的過程中，PQ與CD有可能互相垂直嗎？若有可能，求出運動的時間；若沒有可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 2秒或4秒，(2) 秒或秒；（3）有可能．經過秒，PQ⊥CD．

【解析】試題分析：（1）設PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，依照題意列一元二次方程，解方程.

（2）設運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似,對應邊成比例，列方程，解方程.

(3)假設垂直，△PCQ∽△BCA,列方程，解方程.

試題解析：

（1）設經過x秒△PCQ的面積為△ACB的面積的，

由題意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，

則×2x（6﹣x）=××8×6，

解得：x=2或x=4．

故經過2秒或4秒，△PCQ的面積為△ACB的面積的；

（2）設運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似．

當△PCQ與△ACB相似時，則有或,

所以或,

解得t=，或t=.

因此，經過秒或.秒，△OCQ與△ACB相似；

（ 3）有可能．

由勾股定理得AB=10．

∵CD為△ACB的中線，

∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，

又PQ⊥CD，

∴∠CPQ=∠B，

∴△PCQ∽△BCA，

∴,,

解得y=.

因此，經過秒，PQ⊥CD．