Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F分別是AB和BC邊上的點．
（1）如圖①，以EF為對稱軸翻折梯形ABCD，使點B與點D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面積S_梯形ABCD的值；
（2）如圖②，連接EF并延長與DC的延長線交于點G，如果FG=k•EF（k為正數），試猜想BE與CG有何數量關系寫出你的結論并證明之．

Answer 1

（1）由題意，有△BEF≌△DEF．
∴BF=DF
如圖，過點A作AG⊥BC于點G．則四邊形AGFD是矩形．
∴AG=DF，GF=AD=4．
在Rt△ABG和Rt△DCF中，
∵AB=DC，AG=DF，
∴Rt△ABG≌Rt△DCF．（HL）
∴BG=CF
∴BG=

1

2

（BC-GF）=

1

2

（8-4）=2．
∴DF=BF=BG+GF=2+4=6
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DF=

1

2

×（4+8）×6=36

（2）猜想：CG=k•BE（或BE=

1

K

CG）
證明：如圖，過點E作EH∥CG，交BC于點H．
則∠FEH=∠FGC．
又∠EFH=∠GFC，
∴△EFH∽△GFC．
∴

EF

GF

=

EH

GC

，
而FG=k•EF，即

GF

EF

=k．
∴

EH

GC

=

1

k

即CG=k•EH
∵EH∥CG，∴∠EHB=∠DCB．
而四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB．
∴∠B=∠EHB．∴BE=EH．
∴CG=k•BE．