Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF＝BD，連接BF．

（1）求證：BD＝CD；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果矩形AFBD是正方形，確定△ABC的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當△ABC滿足：AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形，見解析；（3）當矩形AFBD是正方形，△ABC是等腰直角三角形，見解析

【解析】

（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF＝CD，再利用等量代換即可得證；

（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB＝90°，由等腰三角形三線合一的性質可知必須是AB＝AC．

（3）根據正方形的性質和等腰直角三角形的判定定理即可得到結論．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，

∵E是AD的中點，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF＝CD，

∴AF＝BD，

∴DB＝CD；

（2）當△ABC滿足：AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形．

理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB＝AC，BD＝CD（三線合一），

∴∠ADB＝90°，

∴AFBD是矩形．

（3）當矩形AFBD是正方形，△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°；

∵矩形AFBD是正方形，

∴AD＝BD，

∵∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AD＝BD＝CD＝BC，

∴∠BAC＝90°，

即△ABC是等腰直角三角形．