Question

如圖，正方形AOCB在平面直角坐標系中，點O為原點，點B在反比例函數（＞）圖象上，△BOC的面積為．

（1）求反比例函數的關系式；
（2）若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運動，同時動點F 從B開始沿BC向C以每秒個單位的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動．若運動時間用t表示，△BEF的面積用表示，求出S關于t的函數關系式，并求出當運動時間t取何值時，△BEF的面積最大？
（3）當運動時間為秒時，在坐標軸上是否存在點P，使△PEF的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形AOCB為正方形 ，∴AB=BC=OC=OA。
設點B坐標為（，），
∵，∴，解得。
又∵點B在第一象限，∴點B坐標為（4，4）。
將點B（4，4）代入得，
∴反比例函數解析式為。
（2）∵運動時間為t，動點E的速度為每秒1個單位，點F 的速度為每秒2個單位，
∴AE=t， BF。
∵AB=4，∴BE=。
∴。
∴S關于t的函數關系式為；當時，△BEF的面積最大。
（3）存在。
當時，點E的坐標為（，4），點F的坐標為（4，），
①作F點關于軸的對稱點F₁，得F₁（4，），經過點E、F₁作直線，
由E，4），F₁（4，）可得直線EF₁的解析式是，
當時，，∴P點的坐標為（，0）。
②作E點關于軸的對稱點E₁，得E₁（，4），經過點E₁、F作直線，
由E₁（，4），F（4，）可得直線E₁F的解析式是，
當時，，∴P點的坐標為（0，）。
綜上所述，P點的坐標分別為（，0）或（0，）。

試題分析：（1）根據正方形的性質和△BOC的面積為，列式求出點B的坐標，代入，即可求得k，從而求得反比例函數的關系式。
（2）根據雙動點的運動時間和速度表示出BF和BE，即可求得S關于t的函數關系式，化為頂點式即可根據二次函數的最值原理求得△BEF的面積最大時t的值。
（3）根據軸對稱的原理，分F點關于軸的對稱點F₁和E點關于軸的對稱點E₁兩種情況討論。