Question

如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點（點P與點C不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，連接AA₁，射線AA₁分別交射線PB、射線B₁B于點E、F．
（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在

 

關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；
（2）如圖2，設∠ABP=β．當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合．已知AB=4，設DP=x，△A₁BB₁的面積為S，求S關于x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）通過證明∠PAE=∠EBF，結合公共角證明即可；
（2）根據AA易得：△BEF∽△AEP，結合一組對應邊相等的相似圖形全等，最后根據全等三角形的性質可知；
（3）連接BD，交A₁B₁于點G，過點A₁作A₁H⊥AC于點H．根據三角形的面積公式可得S關于x的函數關系式．

解答：解：（1）相似（1分）
由題意得：∠APA₁=∠BPB₁=α，AP=A₁P，BP=B₁P，
則∠PAA₁=∠PBB₁=

180°-α

2

=90°-

α

2

，（2分）
∵∠PBB₁=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；（3分）

（2）存在，理由如下：（4分）
∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，
∴△BEF∽△AEP，
若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可，（5分）
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=60°-(90°-

α

2

)=

α

2

-30°，
∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，（6分）
∴

α

2

-30°=β，
即α=2β+60°；（7分）

（3）連接BD，交A₁B₁于點G，
過點A₁作A₁H⊥AC于點H．
∵∠B₁A₁P=∠A₁PA=60°，
∴A₁B₁∥AC，
由題意得：AP=A₁P=2+x，∠A=60°，
∴△PAA₁是等邊三角形，
∴A₁H=sin60°A₁P=

3

2

(2+x)，（8分）
在Rt△ABD中，BD=2

3

，
∴BG=2

3

-

3

2

(2+x)=

3

-

3

2

x，（9分）
∴S△A1BB1=

1

2

×4×(

3

-

3

2

x)=2

3

-

3

x（0≤x＜2）．（10分）

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質及全等三角形的判定及性質；利用等邊三角形的性質去探究相似三角形和全等三角形，利用相似三角形和全等三角形的性質解決題目的圖形變換規律是非常重要的，要注意掌握．