Question

如圖1，在等邊△ABC中，AD是∠BAC的平分線，一個(gè)含有120°角的△MPN的頂點(diǎn)P（∠MPN=120°）與點(diǎn)D重合，一邊與AB垂直于點(diǎn)E，另一邊與AC交于點(diǎn)F．
（1）請(qǐng)猜想并寫出AE+AF與AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，不必證明．
（2）在圖1的基礎(chǔ)上，若△MPN繞著它的頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，E、F仍然是△MPN的兩邊與AB、AC的交點(diǎn)，當(dāng)三角形紙板的邊不與AB垂直時(shí)，如圖2，（1）中猜想是否仍然成立？說明理由．
（3）如圖3，若△MPN繞著它的頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△MPN的一邊與AB的延長(zhǎng)線相交，另一邊與AC的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，AE、AF與AD之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意利用等邊三角形、角平分線直角三角形、銳角三角函數(shù)推理可得出AE+AF=

3

AD；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，利用圖1，可推理得出結(jié)論仍然成立；
（3）結(jié)合（1）（2）可推理出AE-AF=

3

AD．

解答：解：（1）AE+AF=

3

AD，

（2）AE+AF=

3

AD，仍然成立，
證明：過D點(diǎn)作AB、AC的垂線，垂足為Q、W，
可證△DEQ≌△DFW，∴AQ=AW，EQ=FW，
AE+AF=AQ+QE+AW-FW=2AQ=2×

AD

cos30°

=

3

AD，
∴仍然滿足AE+AF=

3

AD，

（3）AE-AF=

3

AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形、角平分線直角三角形、銳角三角函數(shù)以及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，難度較大．