Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+m (m為常數)的圖像與x軸交于點A(－3,0)，與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx+c(a，b，c為常數，且a≠0)經過A、C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．

(1)求m的值及拋物線的函數表達式；
(2)若P是拋物線對稱軸上一動點，△ACP周長最小時，求出P的坐標；
(3)是否存在拋物在線一動點Q，使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由；
(4)在(2)的條件下過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M₁(x₁,y₁)，M₂(x₂,y₂)兩點，試問是否為定值，如果是，請直接寫出結果，如果不是請說明理由．

Answer 1

（1），y=?x²+x+；（2）（1，3）；(3)存在，5.2 ，7.2；（4）是.

試題分析：（1）首先求得m的值和直線的解析式，根據拋物線對稱性得到B點坐標，根據A、B點坐標利用交點式求得拋物線的解析式；
（2）確定何時△ACP的周長最小．利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短的原理解決；確定P點坐標P（1，3），從而直線M₁M₂的解析式可以表示為y=kx+3-k；
（3）存在， 設Q(x,－x²+x+)①若C為直角頂點, 則由△ACO相似于△CQE，得x=5.2，②若A為直角頂點，則由△ACO相似于△AQE，得x=8.2從而求出Q點坐標.
（4）利用兩點間的距離公式，分別求得線段M₁M₂、M₁P和M₂P的長度，相互比較即可得到結論：為定值．
試題解析：（1）∵y=x+m經過點（-3，0），
∴0=?+m，解得m=，
∴直線解析式為y=x+，C（0，）．
∵拋物線y=ax²+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交于A（-3，0），∴另一交點為B（5，0），
設拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），
∵拋物線經過C（0，），
∴=a•3（-5），解得a=?，
∴拋物線解析式為y=?x²+x+；
（2）要使△ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可．如圖2，

連接BC交x=1于P點，因為點A、B關于x=1對稱，根據軸對稱性質以及兩點之間線段最短，可知此時AP+CP最小（AP+CP最小值為線段BC的長度）．
∵B（5，0），C（0，），
∴直線BC解析式為y=?x+，
∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．
(3) （3）存在  設Q(x, ?x²+x+)
①若C為直角頂點, 則由△ACO相似于△CQE，得x=5.2
②若A為直角頂點，則由△ACO相似于△AQE，得x=8.2
∴Q的橫坐標為5.2 ，7.2
(4)令經過點P（1，3）的直線為y=kx+b，則k+b=3，即b=3-k，
則直線的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=?x²+x+，
聯立化簡得：x²+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．
∵y₁=kx₁+3-k，y₂=kx₂+3-k，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
根據兩點間距離公式得到：

∴=4（1+k²）．
又
；
同理
∴


=4（1+k²）．
∴M₁P•M₂P=M₁M₂，
∴為定值．
考點: 二次函數綜合題．