Question

【題目】已知關于x的一元二次方程．

（1）求證：無論k取何實數值，方程總有實數根；

（2）若等腰△ABC的一邊長a＝6，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的三邊長？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）三角形的三邊為4、6、6或6、6、10．

【解析】

（1）計算方程的判別式大于等于0即可；

（2）由等腰三角形的性質有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三種情況，當b＝6或c＝6時，可知x＝2為方程的一個根，代入可求得k的值，則可求得方程的根，可求得三邊長；當b＝c時，可知方程有兩個相等的實數根，由判別式等于0可求得k，同樣可求得方程的兩根，可求得三角形的三邊長．

（1）證明：

∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，

∴△＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

∴無論k取何實數值，方程總有實數根；

（2）解：

∵△ABC為等腰三角形，

∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三種情況，

①當a＝b＝6或a＝c＝6時，可知x＝6為方程的一個根，

∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，

當k＝3時，方程為x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，

∴三角形的三邊長為4、6、6，

當k＝5時，方程為x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，

∴三角形的三邊長為6、6、10，

②當b＝c時，則方程有兩個相等的實數根，

∴△＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，

∴方程為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，

此時三角形三邊為6、2、2，不滿足三角形三邊關系，舍去，

綜上可知三角形的三邊為4、6、6或6、6、10．