Question

27、某電子科技公司開發一種新產品．產品投產上市一年來，公司經歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經營的盈虧情況每月最后一天結算1次）．公司前12個月累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時間第x（月）之間的函數關系（即前x個月的利潤總和y與x之間的關系）對應的點都在如圖所示的圖象上．該圖象是某二次函數y=a（x-h）²+k圖象的一部分，點A為拋物線的頂點，且點A，B，C的橫坐標分別為4，10，12，點A，B的縱坐標分別為-16，20．
（1）求前12個月該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時間第x（月）之間的函數關系式；
（2）分別求出前9個月公司累積獲得的利潤和10月份一個月內所獲得的利潤；
（3）在前12個月中，哪個月該公司一個月內所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）根據題意此拋物線的頂點坐標為（4，-16），設出拋物線的頂點式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入拋物線的頂點式中即可確定出拋物線的解析式；
（2）令（1）求出的拋物線的解析式中的x=9，即可求出前9個月公司累積獲得的利潤，然后令x=10求出前10個月公司累積獲得的利潤，兩者相減即可求出10月份一個月內所獲得的利潤；
（3）根據前n個月內所獲得的利潤減去前n-1個月內所獲得的利潤，再減去16即可表示出第n個月內所獲得的利潤，為關于n的一次函數，且為增函數，得到n取最大為12時，把n=12代入即可求出最多的利潤．

解答：解：（1）根據題意可設：y=a（x-4）²-16，
當x=10時，y=20，所以a（10-4）²-16=20，
解得a=1，
所求函數關系式為：y=（x-4）²-16；

（2）當x=9時，y=（9-4）²-16=9，
所以前9個月公司累積獲得的利潤為9萬元，
又由題意可知，當x=10時，y=20，而20-9=11，
所以10月份一個月內所獲得的利潤11萬元；

（3）設在前12個月中，第n個月該公司一個月內所獲得的利潤為s（萬元），
則有：s=（n-4）²-16-[（n-1-4）²-16]=2n-9，
因為s是關于n的一次函數，且2＞0，s隨著n的增大而增大，
而n的最大值為12，所以當n=12時，s=15，
所以第12月份該公司一個月內所獲得的利潤最多，最多利潤是15萬元．

點評：此題考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，靈活運用二次函數的圖象與性質解決實際問題，是一道綜合題．