Question

【題目】如圖，以為頂點(diǎn)的拋物線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上有一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，當(dāng)的坐標(biāo)為或時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．

【解析】

（1）將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可求出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出BC的解析式，作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接AO′交BC于點(diǎn)P，連接OP，O′B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)最小，求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出AO′的解析式，聯(lián)立方程即可求出結(jié)論；

（3）求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式求出CD、BC、CD和AC，根據(jù)勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)情況分類討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求出結(jié)論．

解：（1）將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入中，得

解得：

∴拋物線的解析式為；

（2）把y=0代入中，得

解得：x1=-2，x2=6，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋b

將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線BC的解析式為

作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接AO′交BC于點(diǎn)P，連接OP，O′B

根據(jù)對(duì)稱可得PO=PO′，OB=O′B

此時(shí)==

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)最小

∵OB=OC=6，∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∴∠OBO′=90°

∵OB= O′B =6

∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（6,6）

設(shè)直線AO′的解析式為y=mx＋n

將點(diǎn)A和點(diǎn)O′的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線AO′的解析式為

聯(lián)立

解得：

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（3）∵=

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,8）

∴

∴CD2＋BC2=80=BD2

∴△BCD為直角三角形，且∠BCD=90°

點(diǎn)Q在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，△QAC為鈍角三角形，

∴△QAC不可能與△BCD相似

∴點(diǎn)Q必在點(diǎn)A右側(cè)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（q，0），則AQ=q－（-2）=q＋2

∵tan∠CAO=，tan∠BDC=

∴∠CAO=∠BDC

當(dāng)△CQA∽△BCD時(shí)，

∴

即

解得：q=0

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0,0）；

當(dāng)△QCA∽△BCD時(shí)，

∴

即

解得：q=18

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（18,0）；

綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．