Question

【題目】如圖，在矩形中，，點，分別在，上，將沿折疊，使點落在上的點處，又將沿折疊，使點落在直線與的交點處．

（1）求證：點在的角平分線上；

（2）求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接CC′根據矩形的性質和平行線的性質可得∠DC′C=∠ECC′，由折疊的性質，∠ECC′=∠EC′C，從而得出∠EC′C=∠DC′C，最后根據角平分線的定義即可證出結論；

（2）由折疊的性質可得AB=AB′，∠B=∠AB′E=90°，C′F=CF，∠EC′F=∠ECF=90°，然后證出∠DAC=30°，結合矩形的性質、四邊形的內角和求出∠DC′F=30°，從而得出C′F=2DF，最后根據CF＋DF=CD即可求出結論．

（1）證明：連接CC′

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD∥BC

∴∠DC′C=∠ECC′

由折疊的性質，∠ECC′=∠EC′C

∴∠EC′C=∠DC′C

∴點在的角平分線上；

（2）由折疊的性質可得AB=AB′，∠B=∠AB′E=90°，C′F=CF，∠EC′F=∠ECF=90°

∴CB′⊥C′B′，

∵C′C平分∠B′C′D，∠D=90°，CD=AB=a

∴CD=CB′

∴CD=AB′= CB′

∴AC=2CD

∴∠DAC=30°，

∴∠ACD=90°－∠DAC=60°

∴∠B′C′D=360°－∠C′B′C－∠D－∠ACD=120°

∴∠DC′F=∠B′C′D－∠EC′F=30°

在Rt△DC′F中，C′F=2DF

∴CF=2DF

∵CF＋DF=CD=a

∴3DF=a

∴DF=