Question

【題目】如圖，ABCD的邊AD與經過A、B、C三點的⊙O相切

（1）求證：弧AB=弧AC
（2）如圖2，延長DC交⊙O于點E，連接BE，sin∠E= ，求tan∠D

Answer 1

【答案】
（1）證明：證明：連接OA交BC于F．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠CFO，

∵AD是⊙O的切線，

∴∠OAD=90°，

∴∠OFC=90°，

∴OF⊥BC，

∴OA平分 ，

即 = ．

（2）解：如圖2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，連接AC．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠D=∠ABC=∠BCE，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = = ，

∴BE=AB=AC， = ，

∴∠E=∠ACE，

在Rt△BEM中，sin∠E= ，設BE=13m，則BM=12m，EM=5m，

在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E= ，AC=EB=13m，則CN=5m，

∵BM=CN，BM∥CN，

∴四邊形BMNA是平行四邊形，

∴MN=AB=EB=13m，

∴CM=18m，

∴tan∠BCE= = = ，

∴tan∠D= ．

【解析】（1.）如圖1中，連接OA交BC于F．只要證明OF⊥BC即可解決問題． （2.）如圖2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，連接AC．首先證明BE=AB=AC， = ，推出∠E=∠ACE，在Rt△BEM中，sin∠E= ，設BE=13m，則BM=12m，EM=5m，在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E= ，AC=EB=13m，則CN=5m，由四邊形BMNA是平行四邊形，推出MN=AB=EB=13m，推出CM=18m，推出tan∠BCE= = = ，可得tan∠D= ．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質和切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．